解答题
7.设3阶实对称矩阵A的特征值λ1=1，λ2=2，λ3=一2，α1=(1，一1，1)T是A的属于特征值λ1的一个特征向量，记B=A5一4A3+E，其中E为3阶单位矩阵．
(1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
(2)求矩阵B．
(1)验证α1是矩阵B的特征向量，并求B的全部特征值与特征向量；
(2)求矩阵B．
【正确答案】(1)由Aα1=α1得A2α1=Aα1=α1，依次递推，则有A3α1=α3，A5α1=α1，故
Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=-2α1，即α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量．
由关系式B=A5-4A3+E及A的3个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2得B的3个特征值为μ1=-2，μ2=1，μ3=1．
设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2、α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0．因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即
Bα1=(A5一4A3+E)α1=A5α1一4A3α1+α1=-2α1，即α1是矩阵B的属于特征值一2的特征向量．
由关系式B=A5-4A3+E及A的3个特征值λ1=1，λ2=2，λ3=-2得B的3个特征值为μ1=-2，μ2=1，μ3=1．
设α2，α3为B的属于μ2=μ3=1的两个线性无关的特征向量，又由A为对称矩阵，则B也是对称矩阵，因此α1与α2、α3正交，即α1Tα2=0，α1Tα3=0．因此α2，α3可取为下列齐次线性方程组两个线性无关的解，即
【答案解析】