【正确答案】证明(用特征值、用定义) 记B=αβ^T，则A=-E+B．而
[*]
由于r(B)=1，α^Tβ=a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃=3，故
|λE-B|=λ³-(a₁b₁+a₂b₂+a₃b₃)λ²=λ³-3λ²．
所以矩阵B的特征值是3，0，0．
那么，矩阵A的特征值是2，-1，-1，故A可逆．
因为α^Tβ=β^Tα=3，有 B²=(αβ^T)(αβ^T)=α(β^Tα)β^T=3B．
于是 (A+E)²=3(A+E)．
[*]

【答案解析】评注 本题也可利用行列式及初等变换来证明，但比较繁琐．考生要掌握本题的证明方法．