设f(x)=(ax+2)ex, 曲线y= f(x)在x=0处的切线斜率为3。
求实数a的值。
对f(x)求导得f'(x)=(ax+a+2)ex。
由切线的斜率为3得f'(0)=a+2=3，所以a=1。
求函数f(x)的单调区间和极值。
由上一题知f(x)=(x+2)ex， f(x)=(x+3)ex。
令f'(x)=0得x=-3。
当x<-3时，f'(x)<0， 故f(x)在(-∞,-3) 上是减函数。
当x>-3时，f'(x)>0， 故f(x)在(-3, +∞)上是增函数。
因此，f(x)在x=-3处取得极小值 f(-3)=-e-3。