问答题
已知随机变量X与Y的联合概率分布为
(Ⅰ)证明X与Y不相关的充分必要条件是事件Y=1与X+Y=1相互独立；
(Ⅱ)若X与Y不相关，求X与Y的边缘分布。
| Y/X | 0 | 1 |
| 0 | α | β |
| 1 | 1/3 | 1/3 |
(Ⅱ)若X与Y不相关，求X与Y的边缘分布。
【正确答案】由概率分布的性质知α+β=
(Ⅰ)X与Y不相关的充分必要条件是cov(X，Y)=EXY-EX·EY=0，
x的概率分布为
，EX=+β，Y的概率分布为
，EY=
，
XY的概率分布为
，EXY=，cov(X，Y)=
，
故X与Y不相关的充分必要条件是
。
事件{Y=1}与{X+Y=1}相互独立的充分必要条件是：
P{Y=1，X+Y=1}=P{Y=1}P{X+Y=1}
P{Y=1，X+Y=1}=P{Y=1，X=0}=，
P{Y=1}P{X+Y=1}=
，
故事件{Y=1}与{X+Y=1}相互独立的充分必要条件是
，
所以X与Y不相关的充分必要条件是事件{Y=1}与{X+Y=1}相互独立。
(Ⅱ)若X与Y不相关，则
，
故X的概率分布为
，Y的概率分布为
(Ⅰ)X与Y不相关的充分必要条件是cov(X，Y)=EXY-EX·EY=0，
x的概率分布为
，EX=+β，Y的概率分布为，EY=，XY的概率分布为
，EXY=，cov(X，Y)=，故X与Y不相关的充分必要条件是
。事件{Y=1}与{X+Y=1}相互独立的充分必要条件是：
P{Y=1，X+Y=1}=P{Y=1}P{X+Y=1}
P{Y=1，X+Y=1}=P{Y=1，X=0}=
，P{Y=1}P{X+Y=1}=
，故事件{Y=1}与{X+Y=1}相互独立的充分必要条件是
，所以X与Y不相关的充分必要条件是事件{Y=1}与{X+Y=1}相互独立。
(Ⅱ)若X与Y不相关，则
，故X的概率分布为
，Y的概率分布为【答案解析】[考点] 随机变量岛相关性、边缘分布