问答题
求解差方方程3yx+1-9yx=x·3x+1．
【正确答案】先将方程化为标准方程
yx+1-3yx=x·3x， ①
其特征方程为λ-3=0，得λ=3．故齐次方程的通解为
=C3x，C为任意常数．
由于非齐次项的底数3即b=3是特征根，故可设方程①的特解为
=x(A0+A1x)·3x，
代入方程①得
(x+1)[A0+A1(x+1)]·3x+1-3x(A0+A1x)·3x=x·3x，
整理并比较两端同次幂的函数，得
解得A0=-1/6，A1=1/6．
故一个特解为
=x(-1/6+x/6)·3x，
原方程的通解是(显然，①与原方程同解)
yx=
+y*=C3x+x(-1/6+x/6)·3x．
注意对形如yx+1-ayx=f(x)的一阶线性差方方程，求其通解的步骤如下．
(1)求解特征方程λ-a=0对应的齐次差方方程yx+1-ayx=0的通解
=Cax，其中C为任意常数；
(2)依据非齐次项f(x)的结构特点设特解形式，为方便计称b为f(x)的底数：
①若f(x)=Axn(=Axn·1x)，则
②若f(x)=Abx，则
③若f(x)=xnbx，则
yx+1-3yx=x·3x， ①
其特征方程为λ-3=0，得λ=3．故齐次方程的通解为
=C3x，C为任意常数．由于非齐次项的底数3即b=3是特征根，故可设方程①的特解为
=x(A0+A1x)·3x，代入方程①得
(x+1)[A0+A1(x+1)]·3x+1-3x(A0+A1x)·3x=x·3x，
整理并比较两端同次幂的函数，得
解得A0=-1/6，A1=1/6．
故一个特解为
=x(-1/6+x/6)·3x，原方程的通解是(显然，①与原方程同解)
yx=
+y*=C3x+x(-1/6+x/6)·3x．注意对形如yx+1-ayx=f(x)的一阶线性差方方程，求其通解的步骤如下．
(1)求解特征方程λ-a=0对应的齐次差方方程yx+1-ayx=0的通解
=Cax，其中C为任意常数；(2)依据非齐次项f(x)的结构特点设特解形式，为方便计称b为f(x)的底数：
①若f(x)=Axn(=Axn·1x)，则
②若f(x)=Abx，则
③若f(x)=xnbx，则
【答案解析】[解析] 将所给方程化为标准差分方程得到
yx+1-3yx=x·3x．
关键在于正确写出特解形式．因特征方程为λ-3=0，故特征根为λ=3，与底数b=3相等，故该特解形式为
yx+1-3yx=x·3x．
关键在于正确写出特解形式．因特征方程为λ-3=0，故特征根为λ=3，与底数b=3相等，故该特解形式为