解答题
已知二次型
f(x1，x2，x3)=4x22－3x32+4x1x2－4x1x3+8x2x3．
f(x1，x2，x3)=4x22－3x32+4x1x2－4x1x3+8x2x3．
问答题
5.写出二次型f的矩阵表达式；
【正确答案】二次型f的矩阵表达式为
其中
其中
【答案解析】
问答题
6.用正交变换把二次型f化为标准形，并求出相应的正交矩阵．
【正确答案】矩阵A的特征多项式为
由此得矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=6，λ3=－6．
于是，二次型f可通过正交变换x=Qy化为标准形
f=y12+6y22－6y32．
对于特征值λ1=1，由于
故对应于特征值λ1=1的特征向量可取为ξ1=(2，0，－1)T．
类似地，对应于特征值λ2=6，λ3=－6的特征向量可分别取为ξ2=(1，5，2)T，ξ3=(1，－1，2)T．
因为A是实对称矩阵，且λ1，λ2，λ3互异，故x1，x2，x3构成正交向量组，将其单位化得
于是，所求的正交矩阵为
故对二次型f作正交变换
由此得矩阵A的特征值为λ1=1，λ2=6，λ3=－6．
于是，二次型f可通过正交变换x=Qy化为标准形
f=y12+6y22－6y32．
对于特征值λ1=1，由于
故对应于特征值λ1=1的特征向量可取为ξ1=(2，0，－1)T．
类似地，对应于特征值λ2=6，λ3=－6的特征向量可分别取为ξ2=(1，5，2)T，ξ3=(1，－1，2)T．
因为A是实对称矩阵，且λ1，λ2，λ3互异，故x1，x2，x3构成正交向量组，将其单位化得
于是，所求的正交矩阵为
故对二次型f作正交变换
【答案解析】