解答题
设总体X的概率分布为
其中θ(0＜θ＜1)为未知参数，利用总体X的如下样本值：
1，4，1，2，4，1，2，1，
求θ的矩估计值和最大似然估计值．
| X | 1 | 2 | 4 | ||||||||||||||||
| P | 1-θ | θ(1-θ) | θ2 | ||||||||||||||||
1，4，1，2，4，1，2，1，
求θ的矩估计值和最大似然估计值．
【正确答案】
【答案解析】[解] E(X)=1·(1-θ)+2·θ(1-θ)+4·θ2=2θ2-θ+1．
令
解得
，θ2=-1(舍去)，故θ的矩估计值为
对于给定的样本值，似然函数为
L(θ)=(1-θ)4·[θ(1-θ)]2·(θ2)2=θ6(1-θ)6．
取对数，得
ln L(θ)=6lnθ+6ln(1-θ)．
两边对θ求导，得
令
故θ的最大似然估计值为
令
解得，θ2=-1(舍去)，故θ的矩估计值为对于给定的样本值，似然函数为
L(θ)=(1-θ)4·[θ(1-θ)]2·(θ2)2=θ6(1-θ)6．
取对数，得
ln L(θ)=6lnθ+6ln(1-θ)．
两边对θ求导，得
令
故θ的最大似然估计值为