【正确答案】解一 用高斯消元法求之．对系数矩阵进行初等行变换化为行阶梯形矩阵

由非零行的第1个非零元素所在的列可知x₁，x₂，x₃为独立变量，x₂，x₃为自由变量，则用自由变量表示的独立变量的等价方程组为

令x₂=1，x₃=0，代入方程组①得到解向量[x₁，x₂，x₃，x₄，x₅]=[－1，1，0，0，0]^T=α₁．
令x₂=0，x₅=1，代入方程组①得到另一解向量[x₁，x₂，x₃，x₄，x₅]^T=[－1，0，－1，0，1]^T=α₂，该方程组的一个基础解系为
α₁=[－1，1，0，0，0]^T， α₂=[－1，0，－1，0，1]^T．
解二 用简便求法求之．为此，用初等行变换将A化成含最高阶单位矩阵的矩阵，即

其中A₁已是含最高阶(三阶)单位矩阵的矩阵，而且含有2个三阶单位矩阵，第一个是在第1，2，3行，第1，3，4列；第2个是在第1，2，3行，第2，3，4列．为方便计，取第1个单位矩阵计算．除单位矩阵所在的列以外，A₁中还有两列，因而一个基础解系含有2个解向量α₁，α₂．因第1个单位矩阵在第1，3，4列，故α₁，α₂的第1，3，4个元素分别为第2列、第5列的前3个元素反号，
即
α₁=[－1，a₁₂，－0，－0，a₁₅]^T=[－1，a₁₂，0，0，a₁₅]^T，
α₂=[－1，a₂₂，－1，－0，a₂₅]^T=[－1，a₂₂，－1，0，a₂₅]^T．
而α₁与α₂中的第2、5个元素a_ij(i=1，2；j=2，5)依次组成二阶单位矩阵