问答题
已知A是3阶方阵，A的每行元素之和为3，且齐次线性方程组Ax=0有通解k
1
(1，2，-2)
T
+k
2
(2，1，2)
T
，其中k
1
，k
2
是任意常数，α=(1，1，1)
T
．
问答题
证明：对任意的一个3维向量β，向量Aβ和α线性相关；
【正确答案】
【答案解析】[证] 由题设条件，A的每行元素之和为3．则
即A有特征值λ 1 =3，对应的特征向量为ξ 1 =(1，1，1) T .
Ax=0有通解k 1 (1，2，-2)T+k 2 (2，1，2) T ，知A有特征值λ 2 =λ 3 =0，对应的特征向量为
ξ 2 =(1，2，-2) T ，ξ 3 =(2，1，2) T ．
因ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 昏线性无关，故任意3维向量β均可ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 线性表出，设
β=x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 ，
从而有
即A有特征值λ 1 =3，对应的特征向量为ξ 1 =(1，1，1) T .
Ax=0有通解k 1 (1，2，-2)T+k 2 (2，1，2) T ，知A有特征值λ 2 =λ 3 =0，对应的特征向量为
ξ 2 =(1，2，-2) T ，ξ 3 =(2，1，2) T ．
因ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 昏线性无关，故任意3维向量β均可ξ 1 ，ξ 2 ，ξ 3 线性表出，设
β=x 1 ξ 1 +x 2 ξ 2 +x 3 ξ 3 ，
从而有
问答题
若β=(3，6，-3)
T
，求Aβ．
【正确答案】
【答案解析】[解] 当β=(3，6，-3)
T
时，令β=x
1
ξ
1
+x
2
ξ
2
+x
3
ξ
3
，
解非齐次线性方程组
(*)
对(*)式的增广矩阵作初等行变换，得
解得(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T =(3，2，-1) T ．
即β=3ξ 1 +2ξ 2 -ξ 3
解非齐次线性方程组
(*)
对(*)式的增广矩阵作初等行变换，得
解得(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T =(3，2，-1) T ．
即β=3ξ 1 +2ξ 2 -ξ 3