问答题
已知矩阵
【正确答案】
【答案解析】[解] 如果矩阵A有3个不同的特征值，那么A必有3个线性无关的特征向量．现在矩阵A只有2个线性无关的特征向量，所以A的特征值必有重根．由于
矩阵A的特征值是λ
1
=1-a，λ
2
=a，λ
3
=a+1．
因为特征值必有重根，有
λ 1 =λ 2 ，即
．或λ
1
=λ
3
，有a=0．
如果
，矩阵A的特征值为
，
，
．
由
得
的特征向量k
1
(1，0，1)
T
，k
1
≠0．
由
得
的特征向量k
2
(3，-4，5)
T
，k
2
≠0．
如果a=0，矩阵A的特征值为1，1，0．
由
得λ=1的特征向量l
1
(1，0，1)
T
，l
1
≠0．
由
因为特征值必有重根，有
λ 1 =λ 2 ，即
．或λ
1
=λ
3
，有a=0．
如果
，矩阵A的特征值为
，
，
．
由
得
的特征向量k
1
(1，0，1)
T
，k
1
≠0．
由
得
的特征向量k
2
(3，-4，5)
T
，k
2
≠0．
如果a=0，矩阵A的特征值为1，1，0．
由
得λ=1的特征向量l
1
(1，0，1)
T
，l
1
≠0．
由