问答题
设总体X～N(μ，σ
2
)，X
1
，…，X
2n
(n≥2)是X的简单随机样本，且
及统计量
(Ⅰ)统计量Y是否为σ 2 的无偏估计?
(Ⅱ)μ=0时，试求
及统计量
(Ⅰ)统计量Y是否为σ 2 的无偏估计?
(Ⅱ)μ=0时，试求
【正确答案】
【答案解析】解 由X
1
，…，X
2n
(n≥2)是X的简单随机样本，则X
1
+X
n+1
，X
2
+X
n+2
，…，X
n
+X
2n
也独立．
(Ⅰ)X i +X n+i (i=1，2，…，n)为N(2μ，2σ 2 )的简单随机样本，可知其样本均值为
，样本方差为
由于E(S 2 )=2σ 2 ，所以
，即EY=2(n-1)σ
2
，故Y不是σ
2
的无偏估计．
(Ⅱ)在μ=0时，X i +X n+i ～N(0，2σ 2 )，i=1，2，…，n，
则
进一步
，即
可得
，所以
(Ⅰ)X i +X n+i (i=1，2，…，n)为N(2μ，2σ 2 )的简单随机样本，可知其样本均值为
，样本方差为
由于E(S 2 )=2σ 2 ，所以
，即EY=2(n-1)σ
2
，故Y不是σ
2
的无偏估计．
(Ⅱ)在μ=0时，X i +X n+i ～N(0，2σ 2 )，i=1，2，…，n，
则
进一步
，即
可得
，所以