【正确答案】证 由于r(A)=r，故n元齐次线性方程组Ax=0的基础解系含n-r个解向量.因而Ax=0的任何n-r个线性无关的解向量都可作为Ax=0的基础解系.
   因A(η₂-η₁)=Aη₂-Aη₁=b-b=0，故η₂-η₁为Ax=0的解，同理可知η₃-η₁，…，η_n-r+1-η₁也都是Ax=0的解.
   设有一组数k₁，k₂，…，k_n-r，使得
   k₁(η₂-η₁)+k₂(η₃-η₁)+…+k_n-r(η_n-r+1-η₁)=0
   即    -(k₁+k₂+…+k_n-r)η₁+k₁η₂+k₂η₃+…+k_n-rη_n-r+1=0
   由于η₁，η₂，…，η_n-r+1线性无关，得k₁=k₂=…=k_n-r=0，所以，向量组η₂-η₁，η₃-η₁，…，η_n-r+1-η₁线性无关，从而该向量组可作为方程组Ax=0的基础解系.

【答案解析】在本题的条件下，读者试证明非齐次线性方程组Ax=b的通解为x=λ₁η₁+λ₂η₂+…+λ_n-r+1η_n-r+1，其中λ₁，λ₂，…，λ_n-r+1为满足λ₁+λ₂+…+λ_n-r+1=1的任意常数.