问答题
设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f(a)·f(b)＞0，
，试证：对
，试证：对
【正确答案】
【答案解析】[证明] 令F(x)=e
-kx
f(x)，则由题设可知，F(x)在[a，b]上连续．不妨假定f(a)＞0，于是有f(b)＞0，
．
由e -kx ＞0可知
由介值定理，存在点
，使得
F(x 1 )=F(x 2 )=0，
所以，F(x)在[x 1 ，x 2 ]上连续，在(x 1 ，x 2 )上可导．
由罗尔定理知，存在点ξ∈(x 1 ，x 2 )
(a，b)，使得F"(ξ)=0，即
e -kξ [f"(ξ)-kf(ξ)]=0．
故有f"(ξ)-kf(ξ)=0
．
由e -kx ＞0可知
由介值定理，存在点
，使得
F(x 1 )=F(x 2 )=0，
所以，F(x)在[x 1 ，x 2 ]上连续，在(x 1 ，x 2 )上可导．
由罗尔定理知，存在点ξ∈(x 1 ，x 2 )
(a，b)，使得F"(ξ)=0，即
e -kξ [f"(ξ)-kf(ξ)]=0．
故有f"(ξ)-kf(ξ)=0