问答题
设A是3阶矩阵，α
1
，α
2
，α
3
是3维列向量，其中α
3
≠0，若Aα
1
=α
2
，Aα
2
=α
3
，Aα
3
=0．
(Ⅰ)证明α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关；
(Ⅱ)求矩阵A的特征值和特征向量；
(Ⅲ)求行列式|A+2E|的值．
(Ⅰ)证明α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关；
(Ⅱ)求矩阵A的特征值和特征向量；
(Ⅲ)求行列式|A+2E|的值．
【正确答案】
【答案解析】[解] (Ⅰ)设k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
3
=0 (1)
因为Aα 1 =α 2 ，Aα 2 =α 3 ，Aα 3 =0，
用A左乘(1)式两端，有k 1 α 2 +k 2 α 3 =0 (2)
再用A左乘(2)式两端，有k 1 α 3 =0
由于α 3 ≠0．故必有k 1 =0．
把k 1 =0代入(2)得k 2 =0．把k 1 =0，k 2 =0代入(1)得k 3 =0．所以α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关．
(Ⅱ)由于
据(Ⅰ)知α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，即矩阵P=(α 1 ，α 2 ，α 3 )可逆．由AP=PB
从而
因为Aα 1 =α 2 ，Aα 2 =α 3 ，Aα 3 =0，
用A左乘(1)式两端，有k 1 α 2 +k 2 α 3 =0 (2)
再用A左乘(2)式两端，有k 1 α 3 =0
由于α 3 ≠0．故必有k 1 =0．
把k 1 =0代入(2)得k 2 =0．把k 1 =0，k 2 =0代入(1)得k 3 =0．所以α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关．
(Ⅱ)由于
据(Ⅰ)知α 1 ，α 2 ，α 3 线性无关，即矩阵P=(α 1 ，α 2 ，α 3 )可逆．由AP=PB
从而