【正确答案】要证：x∈[0，1]时，(1+x)e^-2x≥1－x，只需证明(1+x)e^-x≥(1－x)e^x．记h(x)=(1+x)e^-x(1－x)e^x，则h＇(x)=x(e^x－e^-x)，当x∈(0，1)时，h＇(x)＞0，因此h(x)在[0，1]上是增函数，故h(x)≥h(0)=0．所以f(x)≥1－x，x∈[0，1]．要证x∈[0，1]时，(1+x)e^-2x≤，只需证明e^x≥x+1．记K(x)=e^x－x－1，则K＇(x)=e^x－1，当x∈(0，1)时，K＇(x)＞0，因此K(x)在[0，1]上是增函数，故K(z)≥K(0)=0．所以f(x)≤，x∈[0，1]．综上，1－x≤f(x)≤

【正确答案】解法一：f(x)－g(x)=(1+x)e^-2x一(ax++1+2xcosx)≥1－x－ax－1－－2xcos x=－x(a+1++2cos x)．设G(x)=+2cosx，则G＇(x)=x－2sin x．记H(x)=x－2sinx，则H＇(x)=1一2cosx，当 x∈(0，1)时，H＇(x)＜0，于是G＇(z)在[0，1]上是减函数，从而当x∈(0，1)时，G＇(x)＜G＇(0)=0，故G(x)在[0，1]上是减函数．于是G(x)≤G(0)=2，从而a+1+G(x)≤a+3．所以，当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面证明当a＞－3时，f(x)≥g(z)在[0，1]上不恒成立．
f(x)－g(x)≤
记I(x)=+a+G(x)，则I＇(x)=+G(x)，当x∈(0，1)时，I＇(x)＜0，故I(x)在[0，1]上是减函数，于是I(x)在[0，1]上的值域为[a+1+2cos1，a+3]．因为当a＞一3时，a+3＞0，所以存在x₀∈(0，1)，使得I(x₀)＞0，此时f(x₀)＜g(x₀)，即f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．综上，实数a的取值范围是(－∞，－3]．
解法二：先证当x∈[0，1]时，1－x²≤cos x≤1－x²．记F(x)=cos x－1+x²，则F＇(x)=－sinx+x．记G(x)=－sin x+x，则G＇(x)=－cos x+1，当x∈(0，1)时，G＇(x)＞0，于是G(x)在[0，1]上是增函数，因此当x∈(0，1)时，G(x)＞G(0)=0，从而F(x)在[0，1]上是增函数．因此F(x)≥F(0)=0，所以当x∈[0，1]时，1－x²≤cos x．同理可证，当x∈[0，1]时，cos x≤1－x²．综上，当x∈[0，1]时，1－x²≤cos x≤1－x²．因为当x∈[0，1]时，f(x)－g(x)=(1+x)e^-2x－(ax++1+2xcosx)≥(1－x)－ax－－1－2x(1一x²)=－(a+3)x,所以当a≤－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上恒成立．下面证明当a＞－3时，f(x)≥g(x)在[0，1]上不恒成立．
因为f(x)－g(x)=(1+x)e^-2x－一(a+3)x≤，所以存在x₀∈(0，1)(例如x₀取