问答题
函数f(x)在(a，b)上称为凹的(凸的)，如果对此区间中任意两点x
1
，x
2
以及任意数λ
1
，λ
2
(λ
1
＞0，λ
2
＞0，且λ
1
+λ
2
=1)有不等式
f(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )＜λ 1 f(x 1 )+λ 2 f(x 2 )[或f(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )＞λ 1 f(x 1 )+λ 2 f(x 2 )]，
试证：(1)若a＜x＜b时，f"(x)＞0，则函数于(a，b)内为凹的；
(2)若a＜x＜b时，f"(x)＜0，则函数于(a，b)内为凸的．
f(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )＜λ 1 f(x 1 )+λ 2 f(x 2 )[或f(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )＞λ 1 f(x 1 )+λ 2 f(x 2 )]，
试证：(1)若a＜x＜b时，f"(x)＞0，则函数于(a，b)内为凹的；
(2)若a＜x＜b时，f"(x)＜0，则函数于(a，b)内为凸的．
【正确答案】
【答案解析】[证]设λ
1
＞0，λ
2
＞0，且λ
1
+λ
2
=1；又x
1
，x
2
∈(a，b)，x
1
＜x
2
，
因为x 1 +λ 2 (x 2 -x 1 )=λ 1 x 1 +λ 2 x 2 =x 2 +λ 1 (x 1 -x 2 )，
所以x 1 ＜λ 1 x 1 +λ 2 x 2 ＜x 2 ．
由拉格朗日中值定理可知
f(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )-f(x 1 )=λ 2 (x 2 -x 1 )f"(ξ 1 )(x 1 ＜ξ 1 ＜λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )， ①
f(x 2 )-f(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )=λ 1 (x 2 -x 1 )f"(ξ 2 )(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 ＜ξ 2 ＜x 2 )， ②
①×λ 1 -②×λ 2 得
(λ 1 +λ 2 )f(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )=λ 1 f(x 1 )+λ 2 f(x 2 )+λ 1 λ 2 (x 2 -x 1 )[f"(ξ 1 )-f"(ξ 2 )]
因为x 1 +λ 2 (x 2 -x 1 )=λ 1 x 1 +λ 2 x 2 =x 2 +λ 1 (x 1 -x 2 )，
所以x 1 ＜λ 1 x 1 +λ 2 x 2 ＜x 2 ．
由拉格朗日中值定理可知
f(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )-f(x 1 )=λ 2 (x 2 -x 1 )f"(ξ 1 )(x 1 ＜ξ 1 ＜λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )， ①
f(x 2 )-f(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )=λ 1 (x 2 -x 1 )f"(ξ 2 )(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 ＜ξ 2 ＜x 2 )， ②
①×λ 1 -②×λ 2 得
(λ 1 +λ 2 )f(λ 1 x 1 +λ 2 x 2 )=λ 1 f(x 1 )+λ 2 f(x 2 )+λ 1 λ 2 (x 2 -x 1 )[f"(ξ 1 )-f"(ξ 2 )]