问答题
假设随机变量X与Y相互独立，如果X服从标准正态分布，Y的概率分布为P{Y=一1}=
，P{Y=1}=
，P{Y=1}=
【正确答案】正确答案：(I)依题意
，X～N(0，1)且X与Y相互独立，于是Z=XY的分布函数为 F
Z
(z)=P{XY≤z}=P{Y=一1}P{XY≤z|Y=一1}+P{Y=1}P{XY≤z|Y=1} =P{Y=一1}P{一X≤z|Y=一1}+P{Y=1}P{X≤z|Y=1} =P{Y=-1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z}
即Z=XY服从标准正态分布，其概率密度为
(Ⅱ)由于V=|X—Y|只取非负值，因此当v＜0时，其分布函数F
V
(v)=P{|X—Y|≤v}=0；当v≥0时， F
V
(v)=P{一v≤X—Y≤v} =P{Y=一1}P{一v≤X—Y≤v|Y=一1}+P{Y=1}P{一v≤X一Y≤v|Y=1}
综上计算可得
由于F
V
(v)是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此V的概率密度为
，X～N(0，1)且X与Y相互独立，于是Z=XY的分布函数为 F
Z
(z)=P{XY≤z}=P{Y=一1}P{XY≤z|Y=一1}+P{Y=1}P{XY≤z|Y=1} =P{Y=一1}P{一X≤z|Y=一1}+P{Y=1}P{X≤z|Y=1} =P{Y=-1}P{X≥一z}+P{Y=1}P{X≤z}
即Z=XY服从标准正态分布，其概率密度为
(Ⅱ)由于V=|X—Y|只取非负值，因此当v＜0时，其分布函数F
V
(v)=P{|X—Y|≤v}=0；当v≥0时， F
V
(v)=P{一v≤X—Y≤v} =P{Y=一1}P{一v≤X—Y≤v|Y=一1}+P{Y=1}P{一v≤X一Y≤v|Y=1}
综上计算可得
由于F
V
(v)是连续函数，且除个别点外，导数存在，因此V的概率密度为
【答案解析】