问答题
设n阶矩阵
【正确答案】
【答案解析】[证] 设α=(a
1
，a
2
，…，a
n
)
T
，β=(b
1
，b
2
，…，b
n
)
T
，则矩阵A=αβ
T
．
于是
设λ是A的特征值，ξ是对应的特征向量，则
A 2 ξ=aAξ，λ 2 ξ=aλξ,(λ 2 -aλ)ξ=0．
由于ξ≠0，故有λ(λ-a)=0．所以，矩阵A的特征值是0或a．又因为
所以λ 1 =a是A的1重特征值，λ 2 =λ 3 =…=λ n =0是A的n-1重特征值.
对于特征值λ 2 =λ 3 =…=λ n =0，齐次线性方程组(0·E-A)x=0其系数矩阵的秩
r(0·E-A)=r(-A)=r(A)=r(αβ T )≤min{r(α)，r(β T )}=1．
又因为
于是
设λ是A的特征值，ξ是对应的特征向量，则
A 2 ξ=aAξ，λ 2 ξ=aλξ,(λ 2 -aλ)ξ=0．
由于ξ≠0，故有λ(λ-a)=0．所以，矩阵A的特征值是0或a．又因为
所以λ 1 =a是A的1重特征值，λ 2 =λ 3 =…=λ n =0是A的n-1重特征值.
对于特征值λ 2 =λ 3 =…=λ n =0，齐次线性方程组(0·E-A)x=0其系数矩阵的秩
r(0·E-A)=r(-A)=r(A)=r(αβ T )≤min{r(α)，r(β T )}=1．
又因为