解答题
(1)证明拉格朗日中值定理：若函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则存在ξ∈(a，b)，使得f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)．
(2)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且
，则
存在，且
(2)证明：若函数f(x)在x=0处连续，在(0，δ)(δ＞0)内可导，且
，则存在，且
【正确答案】
【答案解析】(1)作辅助函数
，易验证φ(x)满足：φ(a)=φ(b)；φ(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且
根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点ξ，使φ′(ξ)=0，即
所以f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)．
(2)任取x0∈(0，δ)，则函数f(x)满足在闭区间[0，x0]上连续，开区间(0，x0)内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在
，使得
(*)
又由于
，对(*)式两边取x0→0+时的极限
故
存在，且
，易验证φ(x)满足：φ(a)=φ(b)；φ(x)在闭区间[a，b]上连续，在开区间(a，b)内可导，且根据罗尔定理，可得在(a，b)内至少有一点ξ，使φ′(ξ)=0，即
所以f(b)-f(a)=f′(ξ)(b-a)．
(2)任取x0∈(0，δ)，则函数f(x)满足在闭区间[0，x0]上连续，开区间(0，x0)内可导，因此由拉格朗日中值定理可得，存在
，使得 (*)又由于
，对(*)式两边取x0→0+时的极限故
存在，且