问答题
设a
0
，a
1
，a
n-1
为n个实数，方阵
【正确答案】正确答案：(1)A的特征多项式
=λ
n
+a
n-1
λ
n-1
+…+a
1
λ+a
0
，因λ是A的特征值，故 |λE一A|=λ
n
+a
n-1
λ
n-1
+…+a
1
λ+a
0
=0， 于是得到 λ
n
=一(a
n-1
λ
n-1
+…+a
1
λ+a
0
)， 所以
因而，α=[1，λ，λ
2
，…，λ
n-1
]
T
是A的对应于λ的特征向量，故α
i
=[1，λ
i
，λ
i
2
，…，λ
i
n-1
]
T
是A的对应 于λ
i
(i=1，2，…，n)的特征向量． (2)由于A的特征值λ
1
，λ
2
，…，λ
n
两两互异，故依次对应的特征向量α
1
，α
2
，…，α
n
线性无 关，因为Aα
i
=λ
i
α
i
(i=1，2，…，n)，令P=[α
1
，α
2
，…，α
n
]，则有
=λ
n
+a
n-1
λ
n-1
+…+a
1
λ+a
0
，因λ是A的特征值，故 |λE一A|=λ
n
+a
n-1
λ
n-1
+…+a
1
λ+a
0
=0， 于是得到 λ
n
=一(a
n-1
λ
n-1
+…+a
1
λ+a
0
)， 所以
因而，α=[1，λ，λ
2
，…，λ
n-1
]
T
是A的对应于λ的特征向量，故α
i
=[1，λ
i
，λ
i
2
，…，λ
i
n-1
]
T
是A的对应 于λ
i
(i=1，2，…，n)的特征向量． (2)由于A的特征值λ
1
，λ
2
，…，λ
n
两两互异，故依次对应的特征向量α
1
，α
2
，…，α
n
线性无 关，因为Aα
i
=λ
i
α
i
(i=1，2，…，n)，令P=[α
1
，α
2
，…，α
n
]，则有
【答案解析】