问答题
设A是一个正定实对称矩阵，证明：A的伴随矩阵A
*
也是正定阵．
【正确答案】
[证法1] 因A
*
∈R
n×n
，(A
*
)'=(A')
*
=A
*
．又A正定．故A
*
半正定．
|A|≠0 故|A
*
|=|A|≠0．所以A
*
正定.
[证法2] A
*
=|A|A
n-1
R
n×n
，且(A
*
)'=A
*
．A正定，故|A|＞0
设A的n个特征值为λ
1
，λ
2
，…，λ
n
(都大于0)，A
*
的n个特征值为|A|λ
1
，|A|λ
2
，…，|A|λ
n
也都大于0，即正惯性指数为n，故A
*
正定．
【答案解析】
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