A项：错误，《公安机关办理刑事案件程序规定》第一百七十二条：经过审查，认为有犯罪事实，但不属于自己管辖的案件，应当立即报经县级以上公安机关负责人批准，制作移送案件通知书，移送有管辖权的机关处理。对于不属于自己管辖又必须采取紧急措施的，应当先采取紧急措施，然后办理手续，移送主管机关。题干中当萧某的报案不属于公安机关管辖范围时，应该报经县级以上公安机关负责人批准，制作移送案件通知书，移送有管辖权的机关处理，而非不接受报案。

B项：正确，《公安机关办理刑事案件程序规定》第二百零六条：询问前，应当了解证人、被害人的身份，证人、犯罪嫌疑人、被害人之间的关系。询问时，应当告知证人、被害人必须如实地提供证据、证言和有意作伪证或者隐匿罪证应负的法律责任。题干中萧某为案件的被害人，公安机关向他询问、收集证据时，需告知萧某其有如实陈述的义务。

C项：正确，《刑事诉讼法》第一百二十条：讯问笔录应当交犯罪嫌疑人核对，对于没有阅读能力的，应当向他宣读。如果记载有遗漏或者差错，犯罪嫌疑人可以提出补充或者改正。犯罪嫌疑人承认笔录没有错误后，应当签名或者盖章。侦查人员也应当在笔录上签名。犯罪嫌疑人请求自行书写供述的，应当准许。必要的时候，侦查人员也可以要犯罪嫌疑人亲笔书写供词。询问被害人，本条规定也适用。题干中萧某作为盗窃案的被害人，公安机关调查完的笔录应由萧某签名或盖章。

D项：正确，《公安机关办理刑事案件程序规定》第一百七十条：公安机关应当保障扭送人、报案人、控告人、举报人及其近亲属的安全。扭送人、报案人、控告人、举报人如果不愿意公开自己的身份，应当为其保守秘密，并在材料中注明。

题干中萧某既为盗窃案的被害人，也为报案人，当萧某不愿公开自己的身份时，公安机关应为其保密。

故正确答案为BCD。