解答题
9.(2003年试题，十二)已知平面上三条不同直线的方程分别为l1：ax+2b+3c=0l2：bx+2cy+3a=0l3：cx+2xy+3b=0试证这三条直线交于一点的充分必要条件为a+b+c=0
【正确答案】由题设，三条直线交于一点等价于线性非齐次方程组
（1）有唯一解，下面先证必要性，设系数矩阵为A，增广矩阵为B，则
方程组(1)有唯一解，则r(A)=r(B)=2，因而｜B｜=0，即
=3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]=0由已知3条直线不相同，从而(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0，因此a+b+c=0至此，必要性得证；再证充分性，由于a+b+c=0，则｜B｜=0，因此r(B)≤2，又因为
（1）有唯一解，下面先证必要性，设系数矩阵为A，增广矩阵为B，则方程组(1)有唯一解，则r(A)=r(B)=2，因而｜B｜=0，即=3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]=0由已知3条直线不相同，从而(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0，因此a+b+c=0至此，必要性得证；再证充分性，由于a+b+c=0，则｜B｜=0，因此r(B)≤2，又因为【答案解析】本题的另外一种证法：(1)必要性：设三条直线交于一点(xo，yo)，则
是Ax=0的非零解，其中
因此｜A｜=0，即｜A｜=一3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]，由于(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0，知a+b+c=0(2)充分性：由方程组
的三个方程相加，并结合a+b+c=0,知上述方程等价于以下方程组
由于
是Ax=0的非零解，其中因此｜A｜=0，即｜A｜=一3(a+b+c)[(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2]，由于(a一b)2+(b一c)2+(c一a)2≠0，知a+b+c=0(2)充分性：由方程组的三个方程相加，并结合a+b+c=0,知上述方程等价于以下方程组由于