【正确答案】(Ⅰ)ξ₁+ξ₂仍是A的对应于λ₁=λ₂=2的特征向量．
因已知Aξ₁=2ξ₁，Aξ₂=2ξ₂，故
A(ξ₁+ξ₂)=Aξ₁+Aξ₂=2ξ₁+2ξ₂=2(ξ₁+ξ₂)．
(Ⅱ)ξ₂+ξ₃不是A的特征向量．假设是，设其对应的特征值为u，则有
A(ξ₂+ξ₃)=μ(ξ₂+ξ₃)，
得2ξ₂－2ξ₃一μξ₂一μξ₃=(2－μ)ξ₂一(2+μ)ξ₃=0，
因2－μ和2+μ不同时为零，故ξ₂，ξ₃线性相关，这和不同特征值对应的特征向量线性无关矛盾，
故ξ₂+ξ₃不是A的特征向量．
(Ⅲ)因A有特征值λ₁=λ₂=2，λ₃=－2，故A²有特征值μ₁=μ₂=μ₃=4．对应的特征向量仍是ξ₁，
ξ₂，ξ₃，且ξ₁，ξ₂，ξ₃线性无关．故存在可逆矩阵P=(ξ₁，ξ₂，ξ₃)，使得
P^－1A²P=4E，A²=P(4E)P^－1=4E．
从而对任意的β≠0，有A²β=4Eβ=4β，故知任意非零向量β都是A²的对应于λ=4的特征向量．