单选题
设f(x)=
【正确答案】
B
【答案解析】解析：显然有 f(x)=
即f(x)在x=0处连续，先求出 f
-
′(0)=(x
2
+ax+1)′|
x=0
=a， f
+
′(0)=(e
x
+bsinx
2
)′|
x=0
=(e
x
+2bxcosx
2
)|
x=0
=1． 要求f′(0)
f
+
′(0)=f
-
′(0)即a=1．此时
f
-
″(0)=(2x+1)′|
x=0
=2， f
+
″(0)=(e
x
+2bxcosx
2
)′|
x=0
=(e
x
+2bcosx
2
—4bx
2
sinx
2
)|
x=0
=1+2b． 要求f″(0)
f
-
″(0)=f
+
″(0)即2=1+2b，b=
． 因此选B． 分析2：我们考虑分段函数 f(X)=
其中f
1
(x)和f
2
(x)均在x=x
0
邻域k阶可导，则f(x)在分界点x=x
0
有k阶导数的充要条件是f
1
(x)和f
2
(x)在x=x
0
处有相同的k阶泰勒公式： f
1
(x)=f
2
(x) =a
0
+a
1
(x—x
0
)+a
2
(x—x
0
)
2
+…+a
k
(x—x
0
)
k
+o((x—x
0
)
k
)(x→x
0
) 把这一结论用于本题：取x
0
=0． f
1
(x)=1+ax+x
2
f
2
(x)=e
x
+bsinx
2
=1+x+
x
2
+o(x
2
)+b(x
2
+o(x
2
)) =1+x+(b+
)x
2
+o(x
2
)． 因此f(x)在x=0处二阶可导
a=1，b+
=1，即a=1，b=
即f(x)在x=0处连续，先求出 f
-
′(0)=(x
2
+ax+1)′|
x=0
=a， f
+
′(0)=(e
x
+bsinx
2
)′|
x=0
=(e
x
+2bxcosx
2
)|
x=0
=1． 要求f′(0)
f
+
′(0)=f
-
′(0)即a=1．此时
f
-
″(0)=(2x+1)′|
x=0
=2， f
+
″(0)=(e
x
+2bxcosx
2
)′|
x=0
=(e
x
+2bcosx
2
—4bx
2
sinx
2
)|
x=0
=1+2b． 要求f″(0)
f
-
″(0)=f
+
″(0)即2=1+2b，b=
． 因此选B． 分析2：我们考虑分段函数 f(X)=
其中f
1
(x)和f
2
(x)均在x=x
0
邻域k阶可导，则f(x)在分界点x=x
0
有k阶导数的充要条件是f
1
(x)和f
2
(x)在x=x
0
处有相同的k阶泰勒公式： f
1
(x)=f
2
(x) =a
0
+a
1
(x—x
0
)+a
2
(x—x
0
)
2
+…+a
k
(x—x
0
)
k
+o((x—x
0
)
k
)(x→x
0
) 把这一结论用于本题：取x
0
=0． f
1
(x)=1+ax+x
2
f
2
(x)=e
x
+bsinx
2
=1+x+
x
2
+o(x
2
)+b(x
2
+o(x
2
)) =1+x+(b+
)x
2
+o(x
2
)． 因此f(x)在x=0处二阶可导
a=1，b+
=1，即a=1，b=