【正确答案】证一 利用三对称行列式的结论证之．由命题2．1．1．2知

故|A|=|A|^T=(n+1)aⁿ．
证二 用数学归纳法证之．
当n=1时，|A|=|2a|=2a=(1+1)a¹=2a，结论成立．
当n=2时，结论也成立．
假设结论对n－2，n－1阶行列式成立，则|A|_n-2=(n－1)a^n－2，|A|_n－1=na^n-1．将|A|按第1行展开得到
|A|_n=2a|A|_n－1－a²|A|_n-2=2－2a·na^n-1－a²·(n－1)a^n-2=(n+1)aⁿ，
即结论对n阶行列式仍成立．由数学归纳法原理知，对任何正整数n，都有|A|=(n+1)aⁿ．
证三 为方便计，令D_n=|A|．将其按第1列展开得到D_n=2aD_n－1－a²D_n－2，
即 D_n－aD_n－1=aD_n－1－a²D_n－2=a(D_n－1－aD_n－2)=a·a(D_n－2－aD_n－3)
=a²(D_n－2－aD_n－3)=…=a^n－2(D₂－aD₁)=aⁿ，
故 D_n=aⁿ+aD_n-1=aⁿ+a(a^n－1+aD_n-2)=2aⁿ+a²D_n－2=…
=(n－2)aⁿ+a^n－2D₂=(n－2)aⁿ+a^n-2(a²+aD₁)
=(n－1)aⁿ+a^n－1D₁=(n－1)aⁿ+a^n-1·2a=(n+1)aⁿ．
证四 利用行列式性质化成三角行列式求之．

(注：命题2．1．1．2 设n阶三对称行列式则

【正确答案】由上题的结论知，当|A|=(n+1)aⁿ≠0即a≠0时，由克拉默法则知，该方程组AX=b有唯一解且唯一解的第1个分量为x₁－D₁／|A|，其中将A的第1列换成[1，0，…，0]^T，得到

【正确答案】解一 当(n+1)aⁿ=0即a=0时，此时增广矩阵和系数矩阵的秩均为n－1＜n，故方程组有无穷多组解，且
是含最高阶单位矩阵的矩阵．因n－秩(A)=1，故对应的齐次方程组的基础解系只含一个解向量．由基础解系和特解的简便求法知，基础解系和特解分别为
α=[1，0，0，…，0]^T， η=[0，1，0，…，0]^T，
故AX=b的通解为X=kα+η，k为任意常数．
解二 因秩(A)=秩=n－1，故|A|=(n+1)aⁿ=0．因而a=0时方程组有无穷多组解．由解一中的式①知，AX=0的同解方程组为自由变量为x₁，取x₁=1，则其基础解系为α=[1，0，…，0]^T，AX=0的通解为kα，k为任意常数．
又因AX=b的同解方程组为令满足上述方程，故其特解为η=[0，1，0，…，0]^T．或在同解方程组中令自由变量x₁=0，也可得到η．所以AX=b的通解为k[1，0，0，…，0]^T+[0，1，0，…，0]^T，尼为任意常数．