设函数 f (x )在区间(a, b) 内可导.证明导函数 f ' (x )在 (a, b) 内严格单调增加的充分必要条件是:
对 (a, b) 内任意的 x1, x2, x3，当x1 < x2 < x3 时
【正确答案】
充分性：
如图任取
，由
，即
令
，根据极限保号性有
，
由
，即
，
令
，根据极限保号性有
，
由题设可知
，由 x1 , x3的任意性，可得f'(x)在(a,b)内严格单调递增，充分性得证.
再证必要性：
即已知f'(x)单调递增，在
上分别使用拉格朗日中值定理，知存在
，
使
又由f'(x)单调递增，且
知，
，
即
【答案解析】