解答题
7.设三阶实对称矩阵A的秩为2，λ1＝λ2＝6是A的二重特征值，若α1＝(1，1，0)T，α2＝(2，1，1)T，α3＝(－1，2，－3)T都是A的属于特征值6的特征向量．
(1)求A的另一特征值和对应的特征向量；
(2)求矩阵A．
(1)求A的另一特征值和对应的特征向量；
(2)求矩阵A．
【正确答案】(1)因为λ1＝λ2＝6是A的二重特征值，故A的属于特征值6的线性无关的特征向量有2个，有题设可得α1，α2，α3一个极大无关组为α1，α2，故α1，α2为A的属于特征值6的线性无关的特征向量．
由r(A)＝2知｜A｜＝0，所以A的另一特征值为λ3＝0．
设λ3＝0对应的特征向量为α＝(χ1，χ2，χ3)T，则有αiTα＝0(i＝1，2)，即
解得此方程组的基础解系为α＝(－1，1，1)T，即A的属于特征值λ3＝0的特征向量为kα＝k(－1，1，1)T(k为任意非零常数)．
(2)令矩阵P＝[α1，α2，α]，则有
由r(A)＝2知｜A｜＝0，所以A的另一特征值为λ3＝0．
设λ3＝0对应的特征向量为α＝(χ1，χ2，χ3)T，则有αiTα＝0(i＝1，2)，即
解得此方程组的基础解系为α＝(－1，1，1)T，即A的属于特征值λ3＝0的特征向量为kα＝k(－1，1，1)T(k为任意非零常数)．
(2)令矩阵P＝[α1，α2，α]，则有
【答案解析】