设λ₁，λ₂是矩阵A的两个不同的特征值，对应的特征向量分别为α₁，α₂，则α₁，A(α₁+α₂)线性无关的充要条件是______

A、 λ₁=0
B、 λ₂=0
C、 λ₁≠0
D、 λ₂≠0

【正确答案】 D

【答案解析】

由题意可知，Aα₁=λ₁α₁，Aα₂=λ₂α₂。若α₁，A(α₁+α₂)线性无关，A(α₁+α₂)=λ₁α₁+λ₂α₂，若λ₂=0，则α₁与A(α₁+α₂)共线，即线性相关，与条件不符，故λ₂≠0。当λ₂≠0时，若k₁α₁+k₂A(α₁+α₂)=k₁α₁+k₂(λ₁α₁+λ₂α₂)=(k₁+k₂λ₁)α₁+k₂λ₂α₂=0，则必有k₁+k₂λ₁=0且k₂=0，即k₁=k₂=0，故α₁与A(α₁+α₂)是线性无关的。综上，可知选D。