【答案解析】[证] 拉格朗日中值定理：设函数f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，则至少存在一点ξ∈(a，b)，使f(b)-f(a)=f'(ξ)(b-a)．
   证明：令
   则有：φ(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且φ(a)=f(a)，φ(b)=f(a)，故φ(a)=φ(b)，所以φ(x)在[a，b]上满足罗尔定理条件，从而知至少存在一点ξ∈(a，b)使φ'(ξ)=0，即
   

【答案解析】[证] 作，易知F(a)=F(b)=0．由于f(x)不是一次式也不为常函数，则F(x)不为常数．所以至少有一点x₁∈(a，b)使
   F(x₁)＞0，
   或至少有一点x₂∈(a，b)使
   F(x₂)＜0，
   于是有
   
   或
   
   由拉格朗日中值定理知，至少存在一点ξ∈(a，b)，使F'(ξ)＞0，即有
   
   如果f(b)-f(a)≥0，那么由上式便有