问答题
已知f(x)在[1，2]上连续，在(1，2)处可导，且f(1)=0，f(2)=1．试证：
(Ⅰ)存在ξ∈(1，2)，使f(ξ)=2-ξ．
(Ⅱ)存在两个不同点η，ζ∈(1，2)，使f"(η)f"(ζ)=1．
(Ⅰ)存在ξ∈(1，2)，使f(ξ)=2-ξ．
(Ⅱ)存在两个不同点η，ζ∈(1，2)，使f"(η)f"(ζ)=1．
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)令F(x)=f(x)+x-2(x∈[1，2])，则F(x)在[1，2]上连续，且
由闭区间上连续函数的零值定理，存在ξ∈(1，2)，使F(ξ)=f(ξ)+ξ-2=0，即f(ξ)=2-ξ．
(Ⅱ)在[1，ξ]，[ξ，2]上分别对f(x)用拉格朗日中值定理，存在η∈(1，ξ)，ζ∈(ξ，2)，故η≠ζ，且η，ζ∈(1，2)，使
从而
F(1)=厂(1)+1-2=-1＜0，F(2)=f(2)+2-2=1＞0．
由闭区间上连续函数的零值定理，存在ξ∈(1，2)，使F(ξ)=f(ξ)+ξ-2=0，即f(ξ)=2-ξ．
(Ⅱ)在[1，ξ]，[ξ，2]上分别对f(x)用拉格朗日中值定理，存在η∈(1，ξ)，ζ∈(ξ，2)，故η≠ζ，且η，ζ∈(1，2)，使