【正确答案】 1、cosx-sin x    

【答案解析】【思路探索】由题设条件，利用变限函数求导法得微分方程：f"(x)+f(x)=0，且f(0)=1，fˊ(0)=-1，解该方程即可得f(x)．

于是原方程变为．两边对x求导，得

整理得两边再对x求导，得0=fˊ(x)-f(-x)·(-1)，即
fˊ(x)=-f(-x)，fˊ(-x)=-f(x) (*)
上式两边对x求导，得f"(x)=fˊ(-x)． (**)
由(*)，(**)得f"(x)=-f(x)．即f"(x)+f(x)=0．解此方程得

注意到f(0)=1，fˊ(0)=-1，又因为f(0)=C₁，fˊ(0)=C₂，所以C₁=1，C₂=-1．
故f(x)=cos x-sin x．
故应填cos x-sin x．
【错例分析】对于本题，有的学生做法如下：
在已知方程两端对x求导，得

又f(0)=0，所以f(x)=1．故应填1．
上述做法显然是错误的，原因是积分不能直接对x求导，而正确的做法是：先通过变量代换u=t-x，使，即使积分