解答题
31.[2016年] 已知y1(x)=ex，y2(x)=u(x)ex是二阶微分方程(2x—1)y＂－(2x+1)y′+2y=0的解，若u(一1)=e，u(0)=－1，求u(x)，并写出该微分方程的通解．
【正确答案】 先用特解代入法求出u(x)所满足的方程，解此方程求出u(x)，得到两个线性无关的特解，再利用命题1．6．3．1(1)写出所给方程的通解．
易求得y′2(x)=[u(x)+u′(x)]e，y＂2(x)=(u＂+2u′+u)ex．将其代入所给方程得到
(2x—1)u＂+(2x－3)u′=0，
令P=u′，则P′=u＂，(2x－1)p′+(2x－3)p=0，即P′+
P=0．
解得P=c1(2x一1)e-x，即
=c1(2x－1)e-x，故
u(x)=f c1(2x一1)e-xdx+c2=一c1(2x+1)e-x+c2，
由u(一1)=e，u(0)=一1得
易求得y′2(x)=[u(x)+u′(x)]e，y＂2(x)=(u＂+2u′+u)ex．将其代入所给方程得到
(2x—1)u＂+(2x－3)u′=0，
令P=u′，则P′=u＂，(2x－1)p′+(2x－3)p=0，即P′+
P=0．解得P=c1(2x一1)e-x，即
=c1(2x－1)e-x，故u(x)=f c1(2x一1)e-xdx+c2=一c1(2x+1)e-x+c2，
由u(一1)=e，u(0)=一1得
【答案解析】