设y=y(x)是区间(一π，π)内过
【正确答案】正确答案：由题意，当一π＜x＜0时，法线均过原点，所以有y=
，即ydy=一xdx，得y
2
=一x
2
+C。 又
，代入y
2
=一x
2
+C得C=π
2
，从而有x
2
+y
2
=π
2
，即y=
。 当0≤x＜π时，y
''
+y+x=0，得其对应齐次微分方程y
''
+y=0的通解为 y
*
=C
1
cosx+C
2
sinx。 设其特解为y
1
=Ax+B，则有0+Ax+B+x=0，得A=一1，B=0，故y
1
=一x是方程的特解，因此y
''
+y+x=0的通解为 y=C
1
cosx+C
2
sinx一x。 因为y=y(x)是(一π，π)内的光滑曲线，故y在x=0处连续且可导，所以由已知得 y｜
x=0
=π，y｜
x=0
=0， 故得C
1
=π，C
2
=1，所以
，即ydy=一xdx，得y
2
=一x
2
+C。 又
，代入y
2
=一x
2
+C得C=π
2
，从而有x
2
+y
2
=π
2
，即y=
。 当0≤x＜π时，y
''
+y+x=0，得其对应齐次微分方程y
''
+y=0的通解为 y
*
=C
1
cosx+C
2
sinx。 设其特解为y
1
=Ax+B，则有0+Ax+B+x=0，得A=一1，B=0，故y
1
=一x是方程的特解，因此y
''
+y+x=0的通解为 y=C
1
cosx+C
2
sinx一x。 因为y=y(x)是(一π，π)内的光滑曲线，故y在x=0处连续且可导，所以由已知得 y｜
x=0
=π，y｜
x=0
=0， 故得C
1
=π，C
2
=1，所以
【答案解析】