解答题
13.设α1，α2，…，αt为AX=0的一个基础解系，β不是AX=0的解，证明：β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关．
【正确答案】方法一 由α1，α2，…，αt线性无关
β，α1，α2，…，αt线性无关，
令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0，
即(k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0，
∵，β，α1，α2，…，αt线性无关，∴
k=k1=…=kt=0，
∴β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关
方法二令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0
(k+k1+…+kt)β=－k1α1－…－ktαt
(k+k1+…+kt)Aβ=－k1Aα1－…－ktAαt=0，
∵Aβ≠0，∴k+k1+…+kt=0，∴k1α1+…+ktαt=0
k=k1=…=kt=0
β，α1，α2，…，αt线性无关，令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0，
即(k+k1+…+kt)β+k1α1+…+ktαt=0，
∵，β，α1，α2，…，αt线性无关，∴
k=k1=…=kt=0，∴β，β+α1，β+α2，…，β+αt线性无关
方法二令kβ+k1(β+α1)+k2(β+α2)+…+kt(β+αt)=0
(k+k1+…+kt)β=－k1α1－…－ktαt(k+k1+…+kt)Aβ=－k1Aα1－…－ktAαt=0，∵Aβ≠0，∴k+k1+…+kt=0，∴k1α1+…+ktαt=0
k=k1=…=kt=0【答案解析】