【正确答案】设曲线的参数方程解定函数y=f(x)，0≤x≤2π，积分区域D如下图所示，有
(x+2y)dxdy=∫₀^2πdx∫₀^f(x)(x+2y)dy=∫₀^2π(xy+y²)∣₀^f(x)dx
=∫₀^2π{xf(x)+f²(x))dx．
由已知x=t—sint，y=1一cost代入上式可得
∫₀^2π{xf(x)+f²(x))dx=∫₀^2π{(t一sint)(1一cost)+(1一cost)²}d(t—sint)
=∫₀^2π{(t一sint)(1一cost)²+(1一cost)³}dt
=∫₀^2π{t(1一cost)²一sint(1一cost)²+(1一cost)³)dt
=∫₀^2πt(1一cost)²dt—∫₀^2πsint(1一cost)²dt+∫₀^2π(1一cost)³dt．
令t=u+π，则上式可化为
∫_-π^π(u+π)(1+cosu)²du+∫_-π^πsinu(1+cosu)²du+∫_-π^π(1+cosu)³du
=∫_-π^π(1+cosu)²du+∫_-π^ππ(1+cosu)²du+∫_-π^πsinu(1+cosu)²du+∫_-π^π(1+cos)³du
=∫_-π^π(1+2cosu+cos²u)du+∫_-π^π(1+3cosu+3cos²u+3cos³u)du
=∫_-π^ππ(1+2cosu+)du+∫_-π^π[1+3cosu++cosu(1一sin²u]du
=3π²+5π+∫_-π^π(1－sin²u)d(sinu)=3π²+5π，
其中，利用奇偶性可知，
∫_-π^πu(1+cosu)²du=0，∫_-π^πsinu(1+cosu)²du=0．