问答题
设f(x)在[0，1]上连续，(0，1)内二阶可导，且
问答题
存在ζ∈(0，1)，使得f(ζ)=0；
【正确答案】由f(x)∈C[0，1]，[*]得f(0)=0，f(1)=0，f'+(0)=1，f'-(1)=2．又由f(0)=0，f'+(0)=1＞0[*]存在x1∈(0，1)使f(x1)>0．再
由f(1)=0，f'-(1)=2＞0[*]存在,x2∈(0，1)(x1＜x2)，使得f(x2)＜0.由零点定理，存在ζ∈(x1，x2[*](0，1)，使得f(ζ)=0．
由f(1)=0，f'-(1)=2＞0[*]存在,x2∈(0，1)(x1＜x2)，使得f(x2)＜0.由零点定理，存在ζ∈(x1，x2[*](0，1)，使得f(ζ)=0．
【答案解析】
问答题
存在ζ∈(0，1)，使得f(η)=f(η)．
【正确答案】令φ(x)=exf(x)，由f(0)=f(ζ)=f(1)=0，得φ(0)=φ(ζ)=φ(1)=0．由罗尔定理，存在ζ1∈(0，ζ)，ζ2∈(ζ，1)，使得φ'(ζ1)=ζ'(ζ2)=0．又φ'(x)=ex[f(x)+f'(x)]，则f(ζ1)+f(ζ1)=0，f(ζ2)+f'(ζ2)=0．
令g(x)=e-x[f(x)+f'(x)]，则g(ζ1)=g(ζ2)=0，再由罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)，使得g'(η)=0，而g'(x)=e-x[f"(x)～f(x)]，所以f"(η)-f(η)=0，即f"(η)=f(η)．
令g(x)=e-x[f(x)+f'(x)]，则g(ζ1)=g(ζ2)=0，再由罗尔定理，存在η∈(ξ1，ξ2)，使得g'(η)=0，而g'(x)=e-x[f"(x)～f(x)]，所以f"(η)-f(η)=0，即f"(η)=f(η)．
【答案解析】