问答题
设A为3阶矩阵，α
1
，α
2
为A的分别属于特征值-1，1的特征向量，向量α
3
满足Aα
3
=α
2
+α
3
．
问答题
证明α1，
α
2
，α
3
线性无关．
【正确答案】
令k
1
α
1
+k
2
α
2
+k3α
3
=0． ①
因为Aα
1
=-α
1
，Aα
2
=α
2
，Aα
3
=α
2
+α
3
，
用A左乘①得 -k
1
α
1
+k
2
α
2
+k
3
α
2
+k
3
α
3
=0 ②
①-②得 2k
1
α
1
-k
3
α
2
=0，
因为α
1
，α
2
分别为A的不同特征值对应的特征向量，所以线性无关，于是k
1
=k
3
=0．
代入①得k
2
α
2
=0，又α
2
≠0，故k
2
=0，即有α
1
，α
2
，α
3
线性无关．
【答案解析】
问答题
令P=(α
1
,α
2
,α
3
)，求P
-1
AP．
【正确答案】
[*]
[*]
【答案解析】
[分析] 本题考查特征值及特征向量的相关性质以及矩阵的对角化．
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