问答题
设φ(x)在区间(a，b)内二阶可导，且φ"(x)≥0，则
【正确答案】
【答案解析】[证]令
由于φ(x)在(a，b)内二阶可导，因此φ(x)在x=x 0 处可展成一阶泰勒公式：
ξ在x与x
0
之间．
因为φ"(x)≥0，x∈(a，b)，所以φ"(ξ)≥0，
于是φ(x)≥φ(x 0 )+φ"(x 0 )(x-x 0 )．
分别令x为x 1 ，x 2 ，…，x n ，同时分别乘以正数p 1 ，p 2 ，…，p n 得
p 1 φ(x 1 )≥p 1 φ(x 0 )+p 1 φ"(x 0 )(x 1 -x 0 )，
p 2 φ(x 2 )≥p 2 φ(x 0 )+p 2 φ"(x 0 )(x 2 -x 0 )，
p n φ(x n )≥p n φ(x 0 )+p n φ"(x 0 )(x n -x 0 )．
将以上几个不等式左右分别相加得
p 1 φ(x 1 )+p 2 φ(x 2 )+…+p n φ(x n )≥(p 1 +p 2 +…+p n )φ(x 0 )+φ"(x 0 )[(p 1 x 1 +p 2 x 2 +…+p n x n )-x 0 (p 1 +p 2 +…+p n )]=(p 1 +p 2 +…+p n )φ(x 0 )，(因为
最后一项为零)．
故
由于φ(x)在(a，b)内二阶可导，因此φ(x)在x=x 0 处可展成一阶泰勒公式：
ξ在x与x
0
之间．
因为φ"(x)≥0，x∈(a，b)，所以φ"(ξ)≥0，
于是φ(x)≥φ(x 0 )+φ"(x 0 )(x-x 0 )．
分别令x为x 1 ，x 2 ，…，x n ，同时分别乘以正数p 1 ，p 2 ，…，p n 得
p 1 φ(x 1 )≥p 1 φ(x 0 )+p 1 φ"(x 0 )(x 1 -x 0 )，
p 2 φ(x 2 )≥p 2 φ(x 0 )+p 2 φ"(x 0 )(x 2 -x 0 )，
p n φ(x n )≥p n φ(x 0 )+p n φ"(x 0 )(x n -x 0 )．
将以上几个不等式左右分别相加得
p 1 φ(x 1 )+p 2 φ(x 2 )+…+p n φ(x n )≥(p 1 +p 2 +…+p n )φ(x 0 )+φ"(x 0 )[(p 1 x 1 +p 2 x 2 +…+p n x n )-x 0 (p 1 +p 2 +…+p n )]=(p 1 +p 2 +…+p n )φ(x 0 )，(因为
最后一项为零)．
故