解答题
15.设总体X服从对数正态分布，其概率密度为
其中μ为未知参数，且X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本．
(Ⅰ)求参数μ的最大似然估计量
(Ⅱ)验证
其中μ为未知参数，且X1，X2，…，Xn是来自总体X的一个简单随机样本．
(Ⅰ)求参数μ的最大似然估计量
(Ⅱ)验证
【正确答案】(Ⅰ)记样本的似然函数为L(μ)，对于总体X的样本值x1，x2，…，xn，其似然函数
当xi>0时(i=1，2，…，n)，对L(μ)取对数并对μ求导数，得
令(lnL)'=0，得驻点μ=
lnxi，不难验证μ就是L(μ)的最大值点，因此μ的最大似然估计量为
(Ⅱ)首先求lnX的分布
由于被积函数f(s)恰是正态分布N(μ，1)的密度，因此随机变量lnX服从正态分布N(μ，1)，即ElnX=μ，
故
当xi>0时(i=1，2，…，n)，对L(μ)取对数并对μ求导数，得
令(lnL)'=0，得驻点μ=
lnxi，不难验证μ就是L(μ)的最大值点，因此μ的最大似然估计量为(Ⅱ)首先求lnX的分布
由于被积函数f(s)恰是正态分布N(μ，1)的密度，因此随机变量lnX服从正态分布N(μ，1)，即ElnX=μ，
故【答案解析】