选择题
设函数f(x)具有任意阶导数，且f'(x)=[f(x)]
2
，则f
(n)
(x)=______
A、
n[f(x)]
n+1
B、
n![f(x)]
n+1
C、
(n+1)[f(x)]
n+1
D、
(n+1)![f(x)]
n+1
【正确答案】
B
【答案解析】
由f'(x)=[f(x)]
2
得
f"(x)=[f'(x)]'={[f(x)]
2
}'=2f(x)f'(x)=2[f(x)]
3
，
当n=1，2时，f
(n)
(x)=n![f(x)]
n+1
成立．
假设n=k时，f
(k)
(x)=k![f(x)]
k+1
成立.则当n=k+1时，有
f
(k+1)
(x)={k![f(x)]
k+1
}'=(k+1)![f(x)]
k
f'(x)=(k+1)![f(x)]
k+2
，
由数学归纳法可知，结论成立，故选B．
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