问答题
(本题满分11分)
设A为3阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得
设A为3阶实对称矩阵，若存在正交矩阵Q，使得
【正确答案】
【答案解析】(Ⅰ)由题设条件可知，
，从而矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=1，λ
3
=-2，且|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=-2．
又由A * α=α，知AA * α=Aα，即Aα=|A|α=-2α，可见α 3 =α=(1，1，1) T 是A的属于特征值λ 3 =-2的一个特征向量．
设λ 1 =λ 2 =1的特征向量为x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则α 3 T x=0，即x 1 +x 2 +x 3 =0．求得基础解系α 1 =(-1，1，0) T ，α 2 =(-1，0，1) T ，即为特征值λ 1 =λ 2 =1所对应的两个线性无关的特征向量．
先将α 1 ，α 2 正交化，得
再将β 1 ，β 2 ，α 3 单位化，得
令
，则Q即为所求的正交矩阵，即有
(Ⅱ)略． [解析] 本题考查求把实对称矩阵相似对角化的正交相似变换矩阵，这只要求得A的特征向量即可．注意，见到矩阵A与一对角矩阵相似，就可知A的特征值；见到伴随矩阵A * ，就要想到用AA * =A * A=|A|E处理，这样由A * α=α可得A的一个特征向量，再由实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交可得其他特征值的特征向量，从而可求得正交矩阵Q．第(Ⅱ)问由(A * ) -1 =
，从而矩阵A的特征值为λ
1
=λ
2
=1，λ
3
=-2，且|A|=λ
1
λ
2
λ
3
=-2．
又由A * α=α，知AA * α=Aα，即Aα=|A|α=-2α，可见α 3 =α=(1，1，1) T 是A的属于特征值λ 3 =-2的一个特征向量．
设λ 1 =λ 2 =1的特征向量为x=(x 1 ，x 2 ，x 3 ) T ，则α 3 T x=0，即x 1 +x 2 +x 3 =0．求得基础解系α 1 =(-1，1，0) T ，α 2 =(-1，0，1) T ，即为特征值λ 1 =λ 2 =1所对应的两个线性无关的特征向量．
先将α 1 ，α 2 正交化，得
再将β 1 ，β 2 ，α 3 单位化，得
令
，则Q即为所求的正交矩阵，即有
(Ⅱ)略． [解析] 本题考查求把实对称矩阵相似对角化的正交相似变换矩阵，这只要求得A的特征向量即可．注意，见到矩阵A与一对角矩阵相似，就可知A的特征值；见到伴随矩阵A * ，就要想到用AA * =A * A=|A|E处理，这样由A * α=α可得A的一个特征向量，再由实对称矩阵的不同特征值对应的特征向量正交可得其他特征值的特征向量，从而可求得正交矩阵Q．第(Ⅱ)问由(A * ) -1 =