问答题
已知4阶方阵A=[α
1
，α
2
，α
3
，α
4
]，α
1
，α
2
，α
3
，α
4
均为4维列向量，其中α
2
，α
3
，α
4
线性无关，α
1
=2α
2
-α
3
，如果β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，求线性方程组AX=β的通解．
【正确答案】正确答案：方法一 由α
1
=2α
2
一α
3
及α
2
，α
3
，α
4
线性无关知r(A)=r(α
1
，α
2
，α
3
，α
4
)=3，且对应齐次方程AX=0有通解k[1，一2，1，0]
T
，又β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，即
故非齐次方程有特解η=[1，1，1，1]
T
，故方程组的通解为k[1，一2，1，0]
T
+[1，1，1，1]
T
，k为任意常数． 方法二
故方程有两特解η
1
=[1，1，1，1]
T
，η
2
=[0，3，0，1]
T
． 又r(A)=3，故方程组的通解为 k(η
1
-η
2
)+η
1
=k[1,-2,1,0]
T
+[1,1,1,1]
T
，k为任意常数. 方法三 由AX=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]X=β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，得 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
. 将α
1
=2α
2
-α
3
代入，整理得 (2x
1
+x
2
-3)α
2
+(-x
1
+x
3
)α
3
+(x
4
-1)α
4
=0. α
2
,α
3
,α
4
线性无关，得
故非齐次方程有特解η=[1，1，1，1]
T
，故方程组的通解为k[1，一2，1，0]
T
+[1，1，1，1]
T
，k为任意常数． 方法二
故方程有两特解η
1
=[1，1，1，1]
T
，η
2
=[0，3，0，1]
T
． 又r(A)=3，故方程组的通解为 k(η
1
-η
2
)+η
1
=k[1,-2,1,0]
T
+[1,1,1,1]
T
，k为任意常数. 方法三 由AX=[α
1
,α
2
,α
3
,α
4
]X=β=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
，得 x
1
α
1
+x
2
α
2
+x
3
α
3
+x
4
α
4
=α
1
+α
2
+α
3
+α
4
. 将α
1
=2α
2
-α
3
代入，整理得 (2x
1
+x
2
-3)α
2
+(-x
1
+x
3
)α
3
+(x
4
-1)α
4
=0. α
2
,α
3
,α
4
线性无关，得
【答案解析】