问答题
设f(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内三阶可导，且
【正确答案】
【答案解析】[解] 由
得f(0)=0，f"(0)=2．
作多项式P(x)=Ax 3 +Bx 2 +Cx+D，使得P(0)=0，P"(0)=2，P(1)=1，P(2)=6，
解得
令
则φ(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且φ(0)=φ(1)=φ(2)=0，因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上都满足罗尔定理的条件，则存在ξ
1
∈(0，1)，ξ
2
∈(1，2)，使得φ"(ξ
1
)=φ"(ξ
2
)=0．
又φ"(0)=0，由罗尔定理，存在η 1 ∈(0，ξ 1 )，η 2 ∈(ξ 1 ，ξ 2 )，使得φ""(η 1 )=φ""(η 2 )=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(η 1 ，η 2 )
得f(0)=0，f"(0)=2．
作多项式P(x)=Ax 3 +Bx 2 +Cx+D，使得P(0)=0，P"(0)=2，P(1)=1，P(2)=6，
解得
令
则φ(x)在[0，2]上连续，在(0，2)内可导，且φ(0)=φ(1)=φ(2)=0，因此φ(x)在[0，1]和[1，2]上都满足罗尔定理的条件，则存在ξ
1
∈(0，1)，ξ
2
∈(1，2)，使得φ"(ξ
1
)=φ"(ξ
2
)=0．
又φ"(0)=0，由罗尔定理，存在η 1 ∈(0，ξ 1 )，η 2 ∈(ξ 1 ，ξ 2 )，使得φ""(η 1 )=φ""(η 2 )=0，再由罗尔定理，存在ξ∈(η 1 ，η 2 )