设L是一条平面曲线，其上任意一点P(x，y)(x＞0)到坐标原点的距离恒等于该点处的切线在y轴上的截距，且L经过点(
问答题
(I)试求曲线L的方程；
【正确答案】正确答案：设曲线L过点P(x，y)的切线方程为Y一y=y
'
(X一x)，令X=0，则Y=－xy
'
+y，即它在y轴上的截距为－xy
'
+y。根据距离公式，点P(x，y)到坐标原点的距离为
。故由题设条件得 一xy
'
+y=
(x＞0)， 即得 y
'
=
(x＞0)， 此为一阶齐次微分方程，令y=μx，则
，代入上式，方程变为
。故由题设条件得 一xy
'
+y=
(x＞0)， 即得 y
'
=
(x＞0)， 此为一阶齐次微分方程，令y=μx，则
，代入上式，方程变为
【答案解析】
问答题
(Ⅱ)求L位于第一象限部分的一条切线，使该切线与L以及两坐标轴所围图形面积最小。
【正确答案】正确答案：由(I)知曲线的方程为y=
一x
2
，则y
'
=一2x，点P(x，y)=P(x，
一x
2
)，所以在点P处的切线方程为 Y一(
一x
2
)=一2x(X一x)， 分别令X=0，Y=0，解得在y轴，x轴上的截距分别为x
2
+
。 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为 A(x)=
(4x
2
+1)
2
，x＞0。 由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为S
0
，于是题中所求的面积为 S(x)=A(x)一S
0
=
(4x
2
+1)
2
一S
0
， 求最值点时与S
0
无关，而 S
'
(x)=
， 令S
'
(x)=0，得x=
，S
'
(x)＞0。 根据极值存在的第一充分条件知，x=
是S(x)在x＞0时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为
一x
2
，则y
'
=一2x，点P(x，y)=P(x，
一x
2
)，所以在点P处的切线方程为 Y一(
一x
2
)=一2x(X一x)， 分别令X=0，Y=0，解得在y轴，x轴上的截距分别为x
2
+
。 此切线与两坐标轴围成的三角形面积为 A(x)=
(4x
2
+1)
2
，x＞0。 由于该曲线在第一象限中与两坐标轴所围成的面积为定值，记为S
0
，于是题中所求的面积为 S(x)=A(x)一S
0
=
(4x
2
+1)
2
一S
0
， 求最值点时与S
0
无关，而 S
'
(x)=
， 令S
'
(x)=0，得x=
，S
'
(x)＞0。 根据极值存在的第一充分条件知，x=
是S(x)在x＞0时的唯一极小值点，即最小值点，于是所求切线方程为
【答案解析】