【正确答案】(1)A为三阶矩阵，
r(A)=r(αβ^T+βα^T)≤r(αβ^T)+r(βα^T)≤r(α)+r(β)≤2＜3，
故|A|=0．
(2)因α，β为三维单位正交向量，故
α^Tα=1，β^Tβ=1，βα^T=βα^T=0．
当然α，β线性无关，又α，β为单位向量，α+β≠0，故
A(α+β)=(αβ^T+βα^T)(α+β)=αβ^Tα+αβ^Tβ+βα^T α+βα^Tβ
=α．0+α．1+β．1+β．0=α+β，
即a+β为A的对应于特征值λ₁=1的特征向量．同法可求
A(α一β)=(αβ^T+βα^T)(α一β)=αβ^Ta一αβ^Tβ+βα^Tα一βα ^Tβ
=α．0一α．1+β．1一β．0=一(α一β)，
故α一β为A的对应于特征值λ₂=一1的特征向量。
设另一特征值为λ₃ ，由|A|=0得到|A|=λ₁λ₂λ₃=0，故λ₃=0．
(3)因A有3个不同特征值，故A～A=diag(0，1，一1)，即其相似对角矩阵为
A=diag(0，1，一1) (diag为对角矩阵的英文简写)．

【答案解析】(1)利用r(B+C)≤r(B)+r(C)，r(BC)≤min{r(B)，r(C)}，证明r(A)＜3；
(2)利用特征向量的定义，即利用A(α+β)=k(α+β)，A(α一β)=C(a一β)证之；
(3)证明A有3个不同的特征值即可。