【正确答案】证明  由题意可知，若a*b=b*a，则必有a=b．
   (1)因为(a*a)*a=a*(a*a)，
   所以a*a=a．
   (2)因为a*(a*b*a)=(a*a)*b*a
   =a*b*(a*a)
   =(a*b*a)*a，
   所以a*b*a=a．
   (3)因为(a*c)*(a*b*c)=(a*c*a)*(b*c)
   =a*(b*c)
   =(a*b)*(c*a*c)
   =(a*b*c)*(a*c)，
   所以a*b*c=a*c．

【答案解析】本题条件中给出半群，则意味着满足封闭性和结合律．根据条件若a    b，必有a*b≠b*a，推出只要证出a*b=b*a，就可断言a=b．对(1)中可将(a*a)看作b，所以有a*a=a．而(2)中根据(1)的结论用a*a替代a，而用a替代a*a．令a*b*a=x，则有a*x=x*a，a=x，从而推得a*b*a=a．(3)中也用到(2)中的结论，c*a*c=c．
   [c*(c*a*c)=(c*c)*a*c=c*a*(c*c)=(c*a*c)*c]．