问答题
设A为三阶矩阵，λ1，λ2，λ3是A的3个不同的特征值，对应的特征向量为α1，α2，α3，令β=α1+α2+α3，
(Ⅰ)证明：β，Aβ，A2β线性无关；
(Ⅱ)若A3β=Aβ，求秩r(A-E)及行列式｜A+2E｜．
(Ⅰ)证明：β，Aβ，A2β线性无关；
(Ⅱ)若A3β=Aβ，求秩r(A-E)及行列式｜A+2E｜．
【正确答案】
【答案解析】[解析] (Ⅰ)设k1β+k2Aβ+k3A2β=0， ①
由题设Aαi=αi(i=1，2，3)，于是
Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3 ②
A2β=A2α1+A2α2+A2α3=
③
将②式，③式代入①式整理得
(k1+k2λ1+
)α1+(k1+k2λ2+
)α2+(k1+k2λ3+
)α3=0．
因为α1，α3，α3为三个不同的特征值所对应的特征向量，所以线性无关，于是有
所以k1=k2=k3=0，
故β，Aβ，A2β线性无关．
(Ⅱ)由A3β=Aβ有
A[β，Aβ，A2β]=[Aβ，A2β，A3β]=[Aβ，A2β，Aβ]=[β，Aβ，A2β]
令P=[β，Aβ，A2β]，则P=[β，Aβ，A2β]可逆，且
从而有
由题设Aαi=αi(i=1，2，3)，于是
Aβ=Aα1+Aα2+Aα3=λ1α1+λ2α2+λ3α3 ②
A2β=A2α1+A2α2+A2α3=
③将②式，③式代入①式整理得
(k1+k2λ1+
)α1+(k1+k2λ2+)α2+(k1+k2λ3+)α3=0．因为α1，α3，α3为三个不同的特征值所对应的特征向量，所以线性无关，于是有
所以k1=k2=k3=0，故β，Aβ，A2β线性无关．
(Ⅱ)由A3β=Aβ有
A[β，Aβ，A2β]=[Aβ，A2β，A3β]=[Aβ，A2β，Aβ]=[β，Aβ，A2β]
令P=[β，Aβ，A2β]，则P=[β，Aβ，A2β]可逆，且
从而有