问答题
有一平底容器，其内侧壁是由曲线x=φ(y)(y≥0)绕y轴旋转而成的旋转曲面(如图所示)，容器的底面圆的半径为2m．根据设计要求，当以3m
3
/min的速率向容器内注入液体时，液面的面积将以πm
2
/min的速率均匀扩大(假设注入液体前，容器内无液体)．
【正确答案】
【答案解析】解法1 (Ⅰ)设在t时刻，液面的高度为y，则由题设知此时液面的面积为πφ
2
(y)=4π+πt，从而t=φ
2
(y)-4．
(Ⅱ)液面的高度为y时．液体的体积为
上式两边对y求导，得
πφ 2 (y)=6φ(y)φ"(y)，
即πφ(y)=6φ"(y)．
解此微分方程，得
由φ(0)=2知C=2，故所求曲线方程为
解法2 (Ⅰ)在t时刻液面的面积为
2 2 π+πt．
由题意知πx 2 =4π+πt，于是t与φ(y)之间的关系为
φ 2 (y)=4+t．
(Ⅱ)设液面高度为y，在t时刻到t+dt时刻，液体体积的变化即体积微元满足
3dt=(4π+πt)dy．
解此微分方程得
当t=0时，y=0．得
，从而
．由t=φ
2
(y)-4得
．考虑到φ(0)=2，
故所求曲线方程为
(Ⅱ)液面的高度为y时．液体的体积为
上式两边对y求导，得
πφ 2 (y)=6φ(y)φ"(y)，
即πφ(y)=6φ"(y)．
解此微分方程，得
由φ(0)=2知C=2，故所求曲线方程为
解法2 (Ⅰ)在t时刻液面的面积为
2 2 π+πt．
由题意知πx 2 =4π+πt，于是t与φ(y)之间的关系为
φ 2 (y)=4+t．
(Ⅱ)设液面高度为y，在t时刻到t+dt时刻，液体体积的变化即体积微元满足
3dt=(4π+πt)dy．
解此微分方程得
当t=0时，y=0．得
，从而
．由t=φ
2
(y)-4得
．考虑到φ(0)=2，
故所求曲线方程为