解答题
22.设λ0为A的特征值．
(1)证明：AT与A特征值相等；
(2)求A2，A2+2A+3E的特征值；
(3)若｜A｜≠0，求A-1，A*，E-A-1的特征值．
(1)证明：AT与A特征值相等；
(2)求A2，A2+2A+3E的特征值；
(3)若｜A｜≠0，求A-1，A*，E-A-1的特征值．
【正确答案】(1)因为｜λE-AT｜=｜(λE-A)T｜=｜λE-A｜，所以AT与A的特征值相等．
(2)因为Aα=λ0α(α≠0)，
所以A2α=λ2Aα-λ02α，(A2+2A+3E)α-(λ02+2λ0+3)α，
于是A2，A2+2A+3E的特征值分别为λ02，λ02+2λ0+3．
(3)因为｜A｜=λ1λ2…λn≠0，所以λ0≠0，由Aα=λ0α得A-1α=
，
由A*Aa=｜A｜α得A*α=
，又(E-A-1)α=
于是A-1，A*，E-A-1的特征值分别为
(2)因为Aα=λ0α(α≠0)，
所以A2α=λ2Aα-λ02α，(A2+2A+3E)α-(λ02+2λ0+3)α，
于是A2，A2+2A+3E的特征值分别为λ02，λ02+2λ0+3．
(3)因为｜A｜=λ1λ2…λn≠0，所以λ0≠0，由Aα=λ0α得A-1α=
，由A*Aa=｜A｜α得A*α=
，又(E-A-1)α=于是A-1，A*，E-A-1的特征值分别为
【答案解析】